๑۩๑ Selamat Merayakan Tahun Baru Hijriyah 1435 H, Tetap Perbanyak Shalawat kepada Manusia Terindah, Rasulillah Muhammad Ibni Abdillah ๑۩๑
Jumat, 22 Februari 2013

SISTEM BILANGAN


 I. DEFINISI
            System bilangan (number system) adalah  suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai  untuk mewakili suatu besaran nilai.
            Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal
.

II. Teori Bilangan

1.    Bilangan Desimal
Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.
Integer desimal :
adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :
8 x 103      = 8000
5 x 102      =   500
9 x 101      =      90
8 x 100      =        8
                      8598
                                                                        position value/palce value                                                                                     absolute value


Absolue value merupakan nilai untuk masing-masing digit bilangan, sedangkan  position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu nernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.

Pecahan desimal :
Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :
1 x 10 2           = 100
8 x 10 1           =  80
3 x 10 0           =    3
7 x 10 –1         =    0,7
5 x 10 –2         =    0,05
                          183,75

2. Bilangan Binar
            Sistem bilangan binary menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.
Contoh bilangan 1001 dapat diartikan :

1 0 0 1
                                                            1 x 2 0 = 1
                                                            0 x 2 1 = 0
                                                            0 x 2 2 = 0
                                                            1 x 2 3 = 8
                                                                        10 (10)
Operasi aritmetika pada bilangan Biner
a.    Penjumlahan
Dasar penujmlahan biner adalah :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0                     dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 = 2, karena digit terbesar ninari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1
contoh :

1111
  10100 +
                  100011
atau dengan langkah :
 1 + 0              = 1
 1 + 0              = 1

 
 1 + 1              = 0 dengan carry of 1
 1 + 1 + 1        = 0

 
 1 + 1              = 0 dengan carry of 1                                    1  0     0      0    1     1

b.    Pengurangan
Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah :
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 – 1 = 1                     dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya).
Contoh :
11101
 1011 -
          10010




            dengan langkah – langkah :
            1 – 1               = 0

 
            0 – 1               = 1 dengan borrow of 1
           
1 – 0 – 1         = 0
            1 – 1               = 0
            1 – 0               = 1
                                                                                                1    0     0         1   0

c.    Perkalian
Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner adalah :
0 x 0 = 0
1 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
contoh
Desimal
Biner

   14
   12 x
    28
 14

                  +
168

             1110
             1100 x
              0000
            0000
          1110
         1110      +
      10101000
d.    pembagian
Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah :
0 : 1 = 0
1 : 1 = 1
Desimal
Biner
5     / 125 \ 25
         10  -
            25
            25 -
              0
              101 / 1111101 \ 11001
                        101 -
                           101
                            101 -
                                 0101
                                    101 -
                                         0

3. Bilangan Oktal
            Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.
Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.
Contoh :
12(8) = …… (10)
                                                            2 x 8 0 = 2
                                                            1 x 8 1 =8                                                                                                                                10
Jadi 10 (10)

Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal
a.    Penjumlahan
Langkah-langkah penjumlahan octal :
-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :
Desimal
Oktal

    21
    87 +
  108

  25
127 +                                                                                          
154
                    5 10  + 7 10            = 12 10   =      14 8
                    2 10  +  2 10 + 1 10 = 5 10    =         5 8
                     1 10                      = 1 10     =        1 8

 



b.    Pengurangan
Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.
Contoh :
Desimal
Oktal

   108
    87 -
    21

 154
127 -                                                                                          
  25
                    4 8  - 7 8      + 8 8     (borrow of) = 5 8
                    5 8  -  2 8 - 1 8                                  = 2 8  
                     1 8  - 1 8                                   =  0 8

 



c.    Perkalian
Langkah – langkah :
-          kalikan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh :
Desimal
Oktal

   14
   12 x
    28
 14 +
  168    

                 16
                 14 x
                  70
                                     4 10 x 6 10     = 24 10  = 30 8
                                     4 10 x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8
 

                  16
                 14 x
                  70
                16
                                 1 10 x 6 10    = 6 10    = 6 8
                                 1 10 x 1 10    =  1 10   = 1 8
 

                 16
                 14 x
                  70
                16 +
               250
                                       7 10 + 6 10  = 13 10  = 15 8
                                        1 10  +  1 10  = 2 10 = 2 8



d.    Pembagian
Desimal
Oktal
  12 /  168  \  14
12     -   
             48
             48 –
               0
               
 14 / 250 \ 16
         14 -             14 8  x  1 8   = 14 8
         110
          110 -           14 8 x 6 8 = 4 8 x 6 8 = 30 8
              0                                  1 8 x 6 8 =   6 8 +
                                                                     110 8


4. Bilangan Hexadesimal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F
Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15
Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari  nilai 16.
Contoh :
C7(16) = …… (10)
                                                            7 x 16 0           =     7
                                                            C x 16 1          = 192                                                                                                                             199
Jadi 199 (10)





Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal
a.    Penjumlahan
Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :
-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke hexadesimal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal
-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :
Desimal
hexadesimal

 2989
  1073  +
  4062

BAD
431 +                                                                                          
FDE
        D 16 + 1 16  = 13 10  + 110 = 14 10 = E 16
        A 16 + 3 16   = 10 10  + 3 10 = 13 10    =D 16
         B16  + 4 16 = 1110 + 4 10 = 15 10 = F 16

 




b.    Pengurangan
Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.




Contoh :
Desimal
hexadesimal

 4833
1575  -
3258

12E1
   627 -                                                                                          
CBA
        16 10 (pinjam) + 1 10  - 710      = 10 10 = A 16
        14 10 - 7 10 -   - 1 10 (dipinjam) = 11 10  =B 16
         1610  (pinjam) + 2 10  - 610        = 12 10 = C 16

 
          1 10 – 1 10 (dipinjam)  0 10 = 0 16


c.    Perkalian
Langkah – langkah :
-          kalikan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.









Contoh :
Desimal
Hexadesimal

   172
     27 x
   1204
    344 +
  4644  


                 AC
                 1B x
                764
                              C 16 x B 16     =12 10 x 1110= 84 16
                            A16 x B16 +816 = 1010 x 1110+810=7616
 


                 AC
                 1B x
                764
                AC
                                 C16 x 116  = 1210  x 110 =1210=C16
                                 A16 x 116  =  1010  x110 =1010=A 16
 

                 AC
                 1B x
               764
               AC +
               1224
                         616 + C16  = 610 + 1210 = 1810 =12 16
                         716+A16 +116 = 710 x 1010 + 110=1810 = 1216






D. Pembagian
Contoh :
Desimal
hexadesimal
27 /  4646  \  172
27-   
            194
            189 –
               54
               54 –
                 0
 1B / 1214 \ AC
         10E -      1B16xA16  = 2710x1010=27010= 10E16
         144
          144-      1B 16 x C16 = 2710 x 10 10 = 3240 10
              0                                                =14416
                                                                    




III. Konversi Bilangan
            Konversi bilangan adalah suatu proses dimana satu system bilangan dengan basis  tertentu akan dijadikan  bilangan dengan basis yang alian.

Konversi dari bilangan Desimal
1.    Konversi dari bilangan  Desimal ke biner
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian diambil sisa pembagiannya.
Contoh :

45 (10) = …..(2)
45 : 2 = 22 + sisa 1
22 : 2 = 11 + sisa 0
11 : 2 =   5 + sisa 1
  5 : 2 =   2 + sisa 1
  2 : 2 =   1 + sisa 0               101101(2) ditulis dari  bawah ke atas


2.    Konversi bilangan Desimal ke Oktal
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil sisa pembagiannya
            Contoh :
            385 ( 10 ) = ….(8)
            385 : 8 = 48 + sisa 1
              48 : 8 =   6 + sisa 0
                                                            601 (8)

3.    Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian diambil sisa pembagiannya
            Contoh :
            1583 ( 10 ) = ….(16)
            1583 : 16 = 98  + sisa 15
                 96 : 16 =   6 + sisa 2
                                                            62F (16)

Konversi dari system bilangan Biner
1.    Konversi ke desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.
Contoh :
1 0 0 1
                                                            1 x 2 0 = 1
                                                            0 x 2 1 = 0
                                                            0 x 2 2 = 0
                                                            1 x 2 3 = 8
                                                                        10 (10)



2.     Konversi ke Oktal
Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :

11010100 (2) = ………(8)
11   010   100

 
            3          2          4
diperjelas :
100 = 0 x 2 0  = 0
            0 x 2 1 = 0
            1 x 2 2 = 4
                             4
Begitu seterusnya untuk yang lain.

3.    Konversi ke Hexademial
Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap empat buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :
11010100
1101    0100
                                                                                                                                                D             4


Konversi dari system bilangan Oktal
1.    Konversi ke Desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.


Contoh :
12(8) = …… (10)
                                                            2 x 8 0 = 2
                                                            1 x 8 1 =8                                                                                                                                10
Jadi 10 (10)

2.    Konversi ke Biner
Dilakukan dengan mengkonversikan masing-masing digit octal ke tiga digit biner.
Contoh :
6502 (8) ….. = (2)

2 = 010
0 = 000
5 = 101
6 = 110
jadi 110101000010

3.    Konversi ke Hexadesimal
Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan octal menjadi bilangan biner kemudian dikonversikan ke hexadesimal.
Contoh :
2537 (8) = …..(16)
2537 (8) = 010101011111
010101010000(2)  = 55F (16)
Konversi dari bilangan Hexadesimal

1.    Konversi ke Desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :
C7(16) = …… (10)
                                                                        7 x 16 0           =     7
                                                                        C x 16 1          = 192                                                                                                                             199
Jadi 199 (10)

2.    Konversi ke Oktal
Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan hexadesimal menjadi biner terlebih dahulu  kemudian dikonversikan ke octal.
Contoh :
55F (16) = …..(8)
55F(16) = 010101011111(2)
010101011111 (2) = 2537 (8)

Latihan :
Kerjakan soal berikut dengan benar !
1.    Sebutkan dan jelaskan empat macam system bilangan !
2.    Konversikan bilangan berikut :
a.    10101111(2) = ………….(10)
b.    11111110(2) = ………….(8)
c.    10101110101 = …………(16)

3.    Konversi dari :
a.    ACD (16) = ………(8)
b.    174 (8) = ……..(2)

4.    BC1
        2A X

5.    245 (8) : 24 (8) =……..(8)
   






Label: ,

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)
Mari Berbagi Ilmu dengan like fanspage and follow twitter kami..

×
Diberdayakan oleh Blogger.



Follow Us on Twitter..

Pengikut

Blogger Template created with Artisteer by aep_corporation.